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2 OPERAÇÕES COM MATRIZES

As operações com matrizes no MATLAB são as seguintes:

· Adição;
· Subtração;
· Multiplicação;
· Divisão a direita;
· Divisão a esquerda;
· Exponenciação;
· Transposta;

A seguir cada uma dessas operações é mostrada com mais detalhe.

 

2.1 Transposta

O caracter apóstrofo, " ' " , indica a transposta de uma matriz. A declaração

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0]
>> B = A'

que resulta em

A = 1 2 3
4 5 6
7 8 0
B = 1 4 7
2 5 8
3 6 0

e

>> x = [-1 O 2]'

produz

x =
-1
0
2

Se Z é uma matriz complexa, Z’ será o conjugado complexo composto. Para obter simplesmente a transposta de Z deve-se usar Z.’, como mostra o exemplo

>> Z = [1 2; 3 4] + [5 6; 7 8]*i
>> Z1 = Z’
>> Z2 = Z.’

que resulta em

Z =
1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i
6.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

Z1 =
1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 7.0000i
2.0000 - 6.0000i 4.0000 - 8.0000i

Z2 = 1.0000 + 5.0000i 3.0000 + 7.0000i
2.0000 + 6.0000i 4.0000 + 8.0000i

 

2.2 Adição e Subtração

A adição e subtração de matrizes são indicadas, respectivamente, por "+" e "-". As operações são definidas somente se as matrizes as mesmas dimensões. Por exemplo, a soma com as matrizes mostradas acima, A + x, não é correta porque A é 3x3 e x é 3x1. Porém,

>> C = A + B

é aceitável, e o resultado da soma é

C =
2 6 10
6 10 14
10 14 0

A adição e subtração também são definidas se um dos operadores é um escalar, ou seja, uma matriz l x l. Neste caso, o escalar é adicionado ou subtraído de todos os elementos do outro operador. Por exemplo:

>> y = x - 1

resulta em

y =
-2
-1
1

 

2.3 Multiplicação

A multiplicação de matrizes é indicada por "*". A multiplicação x*y é definida somente se a segunda dimensão de x for igual à primeira dimensão de y. A multiplicação

>> x'* y

é aceitável, e resulta em

ans =
4

É evidente que o resultado da multiplicação y'*x será o mesmo. Existem dois outros produtos que são transpostos um do outro.

>> x*y’

ans =
2 l -l
0 0 0
-4 -2 2

>> y*x’

ans =
2 0 -4
1 0 -2
-1 0 2

O produto de uma matriz por um vetor é um caso especial do produto entre matrizes. Por exemplo A e X,

>> b = A'x

que resulta em

b =
5
8
-7

Naturalmente, um escalar pode multiplicar ou ser multiplicado por qualquer matriz.

>> pi*x

ans =
-3.1416
0
6.2832

 

2.4 Divisão

Existem dois símbolos para divisão de matrizes no MATLAB "\" e "/". Se A é uma matriz quadrada não singular, então A\B e B/A correspondem respectivamente à multiplicação à esquerda e à direita da matriz B pela inversa da matriz A, ou inv(A)*B e B*inv(A)N, mas o resultado é obtido diretamente. Em geral,

Por exemplo, como o vetor b foi definido como A*x, a declaração

>> z = A\b

resulta em

z =
-1
0
2

 

2.5 Exponenciação

A expressão A^p eleva A à p-ésima potência e é definida se A é matriz quadrada e p um escalar. Se p é um inteiro maior do que um, a exponenciação é computada como múltiplas multiplicações. Por exemplo,

>> A^3

ans =
279 360 306
684 873 684
738 900 441

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